Аксиоматический метод

Аксиоматический метод построения научной теории. Начала Евклида как образец аксиоматического построения научной теории. История создания неевклидовой геометрии.

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых.

Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах.

Дедуктивная система изложения сводится:

1. к перечислению основных понятий,
2. к изложению определений,
3. к изложению аксиом,
4. к изложению теорем,
5. к доказательству этих теорем.

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.

Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом.

Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) о смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы вообще неразрешимы.

История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде "Начала”. Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость основные образы; лежать между, принадлежать, движение.

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома о параллельных (V постулат Евклида): через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом.

Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые.

Из новой системы аксиом Н.И. Лобачевский с безупречной логической строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы равноправны.

Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг от друга пришли к одним результатам недоказуемости пятого постулата и к созданию неевклидовой геометрии.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
Янош Бойяи (1802-1860)

Судьба открытия Лобачевского. В 2004 г. Казанский Государственный Университет отметил 200-летие своего существования. Имя Николая Ивановича Лобачевского тесно связано с Казанским Университетом и составляет его гордость.

Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807 году поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил его. 19 февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-математическому факультету. В течении всей своей жизни он развивал свои идеи, которые излагал в трудах "Начала геометрии”, "Воображаемая геометрия” и других. За год до смерти он опубликовал свою работу "Пангеометрия” (1855г.).
Николай Иванович помимо научных трудов, вел громадную работу, как профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее ректор Университета, при нем развернулось строительство Университетского прекрасного архитектурного ансамбля. Умер он 12 февраля 1856г., так и не дождавшись признания своих идей. Эти идеи были враждебно встречены даже известными математиками того времени. Идеи Н.И. Лобачевского далеко опередили свое время, но все развитие науки подготовило их неизбежное торжество. Через пятнадцать лет после его смерти его открытие стало общеизвестным и определило на столетие вперед развитие геометрической науки, оказало сильнейшее влияние на другие разделы математики, явилось одной из предпосылок глубокого преобразования физических представлений о пространстве и времени.