Модели решения функциональных и вычислительных задач

Модель (от лат. modulus – мера, образец, норма) – искусственно созданный за­ме­с­­титель фрагмента действительности. Модель должна: а) отражать существенные черты яв­ле­ния, чтобы сделанные по модели выводы можно бы­ло при­ме­нить к этому яв­ле­нию; б) упрощать явление так, чтобы действовать с моделью было легче, чем с ре­альным объектом. Примеры моделей: бумажный макет здания, уменьшенная ко­пия судна, схема расположения помещений, формула для вычисления пло­ща­ди поверхности стола по его длине и ширине . фрагмента действительности (предмета, объекта, явления, ситуации), ко­­торый можно в определенных целях использовать для получения информации об исходной реальности.

Модель, как упрощенный объект, отбрасывает несущественные для наших це­лей свойствасодержит меньше информации, чем мо­ж­­но из­влечь из самого явления. Поэтому каждую модель можно применять толь­ко для определенных целей: макеты зданий – для выбора их расположения, но не рас­чета на прочность; копию судна – для проверки на плавучесть в бас­сей­не, но не для оценки удобства пассажиров; формулу площади поверхности стола – для оценки возможности размещения бытовой техники, но не срока слу­ж­бы. исходного явления и

С другой стороны, модель позволяет получить новую информацию, которая ра­нее отсутствовала и которую невозможно или трудно получить, манипулируя с са­мим объектом (при какой нагрузке сломается мост, потепления или по­хо­ло­да­ния климата следует ожидать в будущем).

Один и тот же реальный объект может быть описан разными моделями (в раз­ных аспектах и с разными целями). Одна и та же модель (например, уравнение) мо­жет рассматриваться как модель разных реальных ситуаций (времени на­пол­не­ния бассейна и пути, пройденного телом).

Моделирование – метод познания, включающий создание модели (ис­кус­ст­вен­ного заменителя) явления, предмета, объекта, ситуации (объекта моде­ли­ро­ва­ния), и действия с этой моделью для применения полученных ре­зультатов к объекту моделирования.

В инженерных и экономических задачах использование моделирования це­ле­со­об­­разно, в част­ности, если: (а)нет смысла дожидаться наступления интере­су­ю­щих нас событий, растянутых во времени (прогноз численности насе­ле­ния); (б)соз­­­­дание объ­екта чрезвычайно дорогоис­следование объекта приводит к его разрушению (оценка пре­дель­­­­ного веса сне­га, который может выдержать купол построенного здания). (определение последствий стро­и­тель­ства ГЭС); (в)

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕВОЗМОЖНО, ЕСЛИ НЕ ИЗ­ВЕСТНЫ СУЩЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА.

Классификация моделей.

I)По характеру модели – способам (инструментам) моделирования.

1.Физические (материальные) – объекты реального мира.

1.1.Натурные – воспроизведение с другими размерами, из другого мате­ри­а­ла и т.п. (уменьшенная модель самолета, увеличенная модель сердца, бумаж­ный макет здания).

1.2.Аналоговые – объект другой физической природы, но с аналогичным по­­­­­­ведением (электрическая схема, заменяющая измерение распределения тем­­ператур в физической среде).

2.Абстрактные (идеальные, информационные) – мысленные пред­став­ления, за­фик­сированные в обозначениях определенной степени условности.

2.1.Наглядные (зрительные).

2.1.1.Образные – «похожие» на объект при «привычном» восприятии (ри­сунки, фотографии).

2.1.2.Схематические – использующие условные обозначения (карта, чер­­теж, блок–схема, схема оргструктуры предприятия, график, круговая или столбиковая диаграмма).

2.2.Знаковые – сформулированные на естественном или искусственном язы­ке.

2.2.1.Описательные (словесные) ­– текст на естественном языке (ми­ли­цей­ский протокол, пересказ сюжета, описание отношений в группе).

2.2.2.Табличные – данные в виде таблицы (хроника событий, бух­гал­тер­с­кая ве­до­мость, справочник по прочности материалов, таблица хи­ми­чес­ких эле­ментов).

2.2.3.Математические – описания в виде определенного матема­ти­чес­ко­го аппарата, языка (см. далее).

2.2.4.Компьютерные – программы, позволяющие ответить на вопросы об объ­екте (предсказать будущее поведение, выбрать наилучший вариант дей­­­ствий и т.д.).

Модели могут сочетать в себе черты разных типов. Так, форма глобуса яв­ляется на­­турной моделью Земли,а изображение на нем – схематической мо­де­лью. Опи­­сываемые ниже графы представляют собой математическую модель, в ко­то­рой используются элементы наглядной схематической модели.

Предмет информатики включает, прежде всего, компьютерные модели. Однако все такие модели строятся на базе определенных математических (иногда схе­ма­тических или табличных) моделей. А результаты компьютерных расчетов дол­­жны быть представлены в наглядной или табличной форме. Поэтому инфор­ма­тика рассматривает компьютерное моделерование в связи с математическим и со способами (моделями) представления результатов в виде схем, графиков, таб­лиц и формул.

II)По способу представления системы (объекта) в модели.

А)Моделирование системы в виде черного ящика – указания входов, выходов и со­вокупности связей между входами и выходами (зависимостей характеристик вы­ходов от характеристик входов). При этом не рассматривается, что про­ис­хо­дит внутри системы и как она устроена. Так, обработав имеющиеся дан­ные ме­то­дами математической статистики, можно получить график, пока­зы­ва­ю­щий, как зависит производительность работника (выход) от оплаты труда (вход).

Б)Моделирование путем описания состояний (пространства состояний) сис­те­мы как целого. При этом задаются (а)форма описания состояний (перечень воз­мож­ных состояний или их характеристики – фазовые переменные); (б)законы пе­­рехода из одного состояния в другое (множество правил (операторов) пе­ре­хо­да или зависимости между параметрами); (в)при использовании моделирования для управления системой задаются также цели управления (характеристики (сво­­йства) желаемых (целевых) состояний). Например, при моделировании под­го­товки специалиста можно определить разные уровни подготовки с со­от­вет­ст­ву­ющими объемами знаний и умений (состояния), рассчитать объемы под­го­тов­ки для перехода от одного уровня к другому с необходимыми затратами вре­ме­ни и средств (правила перехода) и определиться с желаемым результатом обу­че­ния (целевым состоянием).

В)Структурное моделирование функционирования системы – описание вза­и­мо­дей­ствия элементов системы, например материальных, финансовых, ми­г­ра­ци­он­ных трудовых и т.п. потоков между регионами страны или передачи знергии и си­ловых взаимодествий междуконструктивными элементами станка.

III)По свойствам математической и компьютерной моделей, используемых для описания объекта. С этих позиций можно выделить независимые приз­на­ки, каждый из которых разделяет модели на два противоположных класса.

1)Статические модели, описывающие состояние системы в определенный мо­мент времени (распределение нагрузки по длине балки; состав населения по воз­­растным группам), – Динамические модели, отражающие изменение во вре­ме­ни (движение краев колеблющейся балки; изменение рождаемости, смерт­нос­ти, численности населения по годам).

2)Детерминированные модели, позволяющие получить однозначно оп­ре­де­лен­ный результат (каким будет ток при заданных напряжении и сопротивлении), – Сто­хастические (вероятностные) модели, позволяющие предсказать только ве­роятность каждого возможного результата (пол ребенка; выигрыш в лотерею).

3)Непрерывные модели, в которых для переменных воз­мож­ны любые зна­че­ние из определенного интервала (скорость, путь, ток), – Дискретные модели, в ко­то­рых переменная может принимать только одно из ко­неч­ного множества зна­че­ний (номер выбранного проекта или исполнителя ра­бот).

III)По специализации – универсальности различают:

1) Содержательные, предметные модели, описывающие конкретное явление из определенной области (уравнения физики, описывающие процессы в атмосфере или недрах Земли; модели управления запасами на складе в ме­нед­ж­мен­те).

2) Формальные модели –­ «за­го­тов­ки» математического аппарата, которые могут быть применены к раз­но­об­раз­ным задачам и явлениям.

Среди моделей последнего типа можно отметить:

А) Системы алгебраических уравнений, которые можно использовать для опи­са­ния силовых взаимодействий между стержнями фермы моста, по­то­ков жид­кос­ти в трубопроводе, поставок товаров между пред­при­я­ти­я­ми и т.д.

Б) Системы дифференциальных уравнений, связывающих между собой из­ме­не­ния во времени переменных, их скоростей и ускорений, которые можно ис­по­ль­зо­вать для описания непрерывных динамических процессов в физике (дви­же­­­ние пла­нет), химии (изменение концентрации веществ) и т.д.

В)Модели конечных автоматов, которые представляют собой перечень ог­ра­ни­че­н­­­ного числа состояний объекта и условия перехода из одного состояния в дру­­­гое (эти условия могут быть однозначно заданы – детерминированный ко­неч­­­ный автомат или включать «бросание жребия» – вероятностный автомат). Та­­кие модели хорошо подходят для задач оперативного управления, например, вы­­бора момента переключения светофора в зависимости от ситуации на пе­ре­к­ре­ст­ке или выбора модели, запускаемой на сборочный конвейер в зависимости от наличия комплектующих.

Г) Модели графов, представляющие из себя множество вершин (узлов) и со­е­ди­ня­­ющих некоторые из вершин линий (ребер, дуг). Эти модели позволяют опи­сы­вать планирование строительства (сетевые графики) и задачи ло­гис­тики (мар­ш­рутизации потоков), например, классическую «задачу ком­ми­во­я­же­ра» – вы­бо­ра наиболее короткого и неповторяющегося маршрута развозки то­вара.

В прикладных задачах используют частные случаи гра­фов, такие как: (а)де­­рево – граф, у каждой вершины которого ровно один «пре­д­шественник, а у од­­ной «глав­ной» («корня») предшественников нет; (б) га­миль­тонов граф, в ко­то­ром есть путь (последовательность дуг), проходящий толь­ко один раз через каж­­дую вер­шину; (в) эйлеров граф, в котором есть путь, про­ходящий только один раз че­рез каждую дугу.

Д)Модели интеллектуальных систем, основанные на имитации рассуждений эк­с­пер­тов при решении сложных задач – в компьютере формируется набор правил ло­гического вывода, который опирается на знание эксперта в конкретной пред­мет­ной области и позволяет перейти от описания исходной ситуации к за­к­лю­че­нию о наилучшем из нескольких возможных вариантов действия. Такой подход ока­зывается эффективным при решении задач планирования, требующих пе­ре­бо­ра огромного числа вариантов, очень быстро (по экспоненте) растущего с рос­­­­­том размерности задачи (такие задачи называют экспоненциальными).

Е)Модели эволюции используют генетические алгоритмы, которые ими­ти­ру­ют дей­ствующие в живой природе механизмы случайной генерации нас­лед­у­е­мых из­менений с последующим естественным отбором. Такие модели перс­пек­тив­ны для решения широкого класса задач прогнозирования развития и отбора луч­ших ва­риантов, что подтверждается впечатляющими результатами эво­лю­ции в при­ро­де.

Классификация задач, решаемых с помощью моделей.

Задачи (функции) моделирования: а)выработка понимания устройства и по­ве­де­ния объ­ек­та (инструмент познания); б)прогнозирование характеристик и сос­то­я­ния объек­та (инструмент прогнозирования); в)выбор воздействий, которые поз­во­лят дос­тичь наших целей (инструмент планирования и управления). В ре­аль­нос­ти эти задачи могут быть связаны и переплетены.

В зависимости от характера решаемой задачи и свойств моделируемого объекта вы­бираются свойства модели и используемый математический аппарат.

Методы и технологии моделирования.

Технология решения задач (анализа, прогнозирования, управления) с исполь­зо­ва­нием компьютерного моделирования включает основные этапы:

1)Постановка задачи – описание исходной задачи и исходных дан­ных («что да­но») и определение целей моделирования, требований к ре­зуль­та­там («что нуж­но найти»).

2)Разработка концептуальной модели («расчетной схемы», упрощенного пред­став­ления) или структуризация или качественный анализ – формулировка пред­по­­ложений и упрощений, вы­деление существенных эле­мен­тов и взаимосвязей (ре­зультаты этапа же­ла­тель­но представить максимально на­глядно – в виде схем, ди­аграмм или, по край­ней мере, сжатого лаконичного опи­сания).

3)Разработка математической модели, формализация задачи – описание объ­ек­та (точнее, разработанной ранее его упрощенной концептуальной модели) на ис­кусственном математическом («формальном») языке с использованием на­и­бо­­­лее адекватного математического аппарата.

4)Алгоритмизация задачи – разработка алгоритма расчета, представляющего ма­тематическую модель в виде четкой и однозначной последовательности опе­ра­ций, которые могут быть выполнены на компьютере.

5)Кодирование алгоритма с помощью выбранных средств программирования (язы­­ка и системы программирования, электронных таблиц, набора запросов, форм и отчетов базы данных и т.п.). 6)Тестирование (отладка) компьютерной системы (программы, рас­­четной таб­ли­цы, базы данных) для выявления и устранения ошибок. Этот этап является об­я­зательным и, зачастую, наиболее длительным, потому что, в си­лу причин, объ­ясняемых в соответствующем разделе курса, создать сра­зу про­грамму без оши­бок невозможно.

7)Использование компьютерной системы для решения поставленных задач объ­яс­нения функционирования моделируемой системы, прогнозирования ее по­ве­де­ния, при­ня­тия уп­равленческих решений и т.п.

8)Интерпретация результатов компьютерного моделирования – фор­му­ли­ров­ка выводов из анализа явления и следствий полученных прогнозов, выработка мер по реализации выбранного решения.

Процесс решения задачи с использованием компьютерного моделирования яв­ля­ется итеративным (циклическим): на любом из этапов может потребоваться во­з­врат на любой из предыдущих и внесение изменений. Так, даже на этапе ин­тер­претации результатов может оказаться, что полученные выводы не­при­ме­ни­мы практически и нужно вернуться к постановке задачи, пересмотрев состав ис­ход­ных данных и цели моделирования (требования к результатам).