Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математические методы в экономике

Метод одномерной оптимизации

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
Математические методы в экономике - Содержание

Свойства функции одной переменной. Монотонность функции. ФункцияImageявляется монотонной, если для любых x1 и x2 из области определения функции выполняется, таких, что Image выполняется неравенство Image, если функция монотонно возрастающая  или Image, если функция монотонно убывающая.

Унимодальность.

ФункцияImageявляется унимодальной на отрезке Image, если она монотонна по обе стороны от единственной на отрезке точки Image, то есть

Image

или

Image

ImageImage

Критерии оптимальности для функций одной переменной.

Определение глобального минимума

ФункцияImage, определённая на множестве Image достигает глобального минимума в точке Image, если Image для всех Image.

Определение локального минимума.

ФункцияImage, определённая на множестве Image имеет локальный минимум в точке Image, если существует такая Image-окрестность точки Image, что для всех Image из этой Image-окрестности   Image.

ImageImageImage

Если функция Image не унимодальна, то наименьший из локальных минимумов будет глобальным (аналогично – наибольший из локальных максимумов будет глобальным максимумом).

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Чтобы точка Image была точкой локального минимума (или максимума) дважды дифференцируемой функции Image на отрезке Image необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1.             Image

2.             Image (минимум) или Image (максимум)

 

Стационарной точкой называется Image, в которой выполняется Image.

Это точки максимума, минимума и перегиба.

Достаточные условия оптимальности.

Пусть в точке Image первые Image производных функции обращаются в ноль, а Image производная отлична от ноля, тогда если Image- нечётное, тоImage - точка перегиба. Если Image- чётное, то это точка оптимума. При этом, если Image-я производная положительная, то точка локального минимума, отрицательна – точка локального максимума.

Алгоритм:

 

  1. Найти 1-ю производную и станционарные точки.
  2. Найти следующую производную, не равную нулю.
  3. Анализировать найденную производную, как указано выше.

 

Методы одномерной оптимизации можно разделить на:

 

  • методы исключения интервалов;
  • методы точечного оценивания (полиномиальной аппроксимации);
  • методы с использованием производных.

 

Методы ориентированы на нахождение точки оптимума внутри заданного интервала и основаны на свойстве унимодальности функции.

Правила исключения интервалов.

Image

Image

Image

Image

Пусть Image унимодальна на интервале Image и достигает минимума в точке Image. Рассмотрим точки Image и Image такие, что если Image, то точка Image принадлежит интервалу  Image, а интервал Image исключается.

Если Image, то исключаются оба интервала Image и Image, а точка оптимума находится принадлежит интервалу Image.

Достоинства метода.

 

  • единственное ограничение на функцию – её унимодальность;
  • требуется вычисления только значений функции.

 

В процессе применения этих методов можно выделить два этапа:

 

  1. этап установления границ интервалов:
  2. этап уменьшения интервалов.

 

Рассмотрим эти этапы.

Этап установления границ интервалов.

 

  1. Выбирается исходная точка
  2. С помощью эвристических приёмов строятся границы интервала.

 

Эвристический метод.

Image, где Image

Image - произвольно выбранная точка

Image - шаг, определяется путём сравнения значений ImageImage,Image

Если Image то Image правее, чем Image и Image.

Если Image то Image левее, чем Image и Image.

Если Image то Image лежит между точками Image и Image и поиск завершён.

Если при поиске минимума оказывается, что  Image, то функция не унимодальна.

Этап  установления интервала

Этап  установления интервала основан на минимаксной стратегии поиска. Размещение пробных точек должно обеспечивать уменьшение интервала в одном и том же отношении, и это отношение должно быть максимальным.

МЕТОД ДЕЛЕНИЯ ПОПОЛАМ

На каждой итерации исключается половина интервала.

1.       Найти Image и Image. Вычислить Image.

2.       Найти Image и Image. Вычислить Image и Image.

Image

3.       Если Image, то исключается интервал Image, при этом Image; перейти к п. 5.  Иначе перейти к п. 4.

4.       Если Image, то исключается интервал Image, при этом Image; перейти к п. 5.  Иначе исключить интервалы Imageи Image, то есть Image; перейти к п. 4.

5.       Вычислить Image. Если Image, то закончить поиск. Иначе перейти к п. 2.

Достоинства метода:

  1. Средняя точка последовательности получаемых интервалов всегда совпадает с одной из пробных точек ImageImage или Image, найденных на предыдущих итерациях. На каждой итерации требуется не более 2-х вычислений значений функции.
  2. После Image вычислений длина интервала равна Image длинны исходного интервала.

МЕТОД ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Используется единичный интервал, поэтому найденный нужно привести к единичному. Пробные точки располагаются симметрично относительно концов интервала.

Image

Длина остающегося после исключения интервала всегда равна Image. Пусть исключается правый интервал.

Для того, чтобы симметрия образца сохранилась расстояние Image должно составлять Image часть от длинны интервала, который, в свою очередь составляет Image.

Image (Золотое сечение можно вычислить как Image)

Если исходный интервал имеет единичную длину, длина интервала после Image вычислений равна Image.

Если правая и левая границы интервала определены как Image и Image соответственно, то координаты всех последующих пробных точек вычисляются по формулам: Image илиImage в зависимости от того, какой интервал был отброшен. Image – количество вычислений.

Image


Категория: Математические методы в экономике | Добавил: Ni-Cd (12 Декабрь 2011)
Просмотров: 2450 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 2
Гостей: 2
Пользователей: 0
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2017 © Ni-Cd. All Rights Reserved