|
Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К СодержаниюУравнение F(x, y, z) = 0 определяет в пространстве Oxyz некоторую поверхность, т.е. геометрическое место точек, координаты которых x, y, z удовлетворяют этому уравнению. Это уравнение называется уравнением поверхности, а x, y, z – текущими координатами.
Однако, часто поверхность задаётся не
уравнением, а как множество точек пространства, обладающих тем или иным
свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя
из её геометрических свойств.
ПЛОСКОСТЬ. НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ
Рассмотрим в пространстве произвольную плоскостьσ. Её положение определяется заданием вектора  , перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точки M0(x0, y0, z0), лежащей в плоскости σ.
 Вектор перпендикулярный плоскости σ, называется нормальным вектором этой плоскости. Пусть вектор имеет координаты  .
Выведем уравнение плоскости σ, проходящей через данную точку M0 и имеющей нормальный вектор . Для этого возьмём на плоскости σ произвольную точку M(x, y, z) и рассмотрим вектор  .
Для любой точки MÎ σ вектор  .Поэтому их скалярное произведение равно нулю  . Это равенство – условие того, что точка MÎ σ. Оно справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается, как только точка M окажется вне плоскости σ.
Если обозначить через  радиус-вектор точки M,  – радиус-вектор точкиM0, то  и уравнение можно записать в виде
 .
Это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Запишем его в координатной форме. Так как  , то
 .
Итак, мы получили уравнение плоскости,
проходящей через данную точку. Таким образом, для того чтобы составить
уравнение плоскости, нужно знать координаты нормального вектора и
координаты некоторой точки, лежащей на плоскости.
Заметим, что уравнение плоскости является уравнением 1-ой степени относительно текущих координат x, y и z.
Примеры.
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) перпендикулярно вектору
 .
Используя выведенное уравнение, получим 2(x-1)+0(y+2)+4(z-3)=0 или x+2z-7=0.
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;2;3), B(-1;0;0), C(3;0;1).
Чтобы составить требуемое уравнение, нужно найти вектор перпендикулярный плоскости. Заметим, что таким вектором будет вектор  . Найдем это вектор.  . Тогда
 .
Взяв в качестве точки, через которую проходит плоскость точку A, получим уравнение –2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0 или x+5y-4z+1=0.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Можно показать, что любое уравнение первой степени относительно декартовых координат x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Это уравнение записывается в виде:
Ax+By+Cz+D=0
и называется общим уравнением плоскости, причём координаты A, B, C здесь являются координатами нормального вектора плоскости.
Рассмотрим частные случаи общего
уравнения. Выясним, как располагается плоскость относительно системы
координат, если один или несколько коэффициентов уравнения обращаются в
ноль.
 |
- Свободный член равен нулю D= 0.
В этом случае уравнение плоскости принимает видAx+Cy+Bz=0. Т.к. числа x=0, y=0, z=0 удовлетворяют уравнению плоскости, то она проходит через начало координат.
- Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю. Пусть например A =0. В этом случае уравнение плоскости имеет вид By+Cz+D=0. Нормальный вектор плоскости имеет координаты
 и перпендикулярен оси Ox. Следовательно, плоскость параллельна оси Ox.
Аналогично, если B= 0, то плоскость параллельна оси Oy и C= 0 – плоскость параллельна оси Oz.
Т.о., если в уравнении плоскости один из коэффициентов при текущей
координате равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей
координатной оси.
- Коэффициент при текущей координате и свободный член равны нулю. Например, A = D = 0. В этом случае уравнению By + Cz
= 0 соответствует плоскость, проходящая через начало координат
(согласно п.1). Кроме того, учитывая п.2, данная плоскость должна быть
параллельна оси Ox. Следовательно, плоскость проходит через ось Ox.
Аналогично, при B=D=0 плоскость Ax+Cz=0 проходит через ось Oy. При C=D=0 плоскость проходит через ось Oz.
- Два коэффициента при текущих координатах раны нулю. Пусть, например, A=B=0. Тогда плоскость Cz+D=0 в силу п.2 будет параллельна осям Oxи Oy, а следовательно параллельна координатной плоскости xOy, и проходит через точку с координатой
 . Аналогично, уравнениям Ax+D=0 и By+D=0 соответствуют плоскости, параллельные координатным плоскостям yOzи xOz. - Два коэффициента при текущих координатах и свободный член равны нулю. Пусть, например, A=B=D=0. Тогда уравнение плоскости имеет вид Cz=0 или z=0. Эта плоскость проходит через начало координат и параллельна осям Ox и Oy, т. е. уравнение определяет координатнуюплоскость xOy. Аналогично, x=0 – уравнение координатной плоскости yOz и y=0 – плоскость xOz.
|
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
 |
Рассмотрим плоскость, пересекающую все три координатные оси и не
проходящую через начало координат. Пусть плоскость задана своим общим
уравнением Ax+By+Cz+D=0, где ни один из коэффициентов не равен нулю.
Преобразуем это уравнение.
Ax+By+Cz=-D. Поделим полученное равенство на –D и запишем его в виде:
 .
Тогда, обозначив  , приходим к уравнению  . Это уравнение и называется уравнением плоскости в отрезках.
Выясним геометрический смысл чисел a, b и c. Если положим y=z=0, то изуравнения x=a. Т.е. данному уравнению удовлетворяет точка с координатами (0; 0; 0). Следовательно, a – это длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox. Аналогично, можно показать, что b и c – длины отрезков, отсекаемых рассматриваемой плоскостью на осях Oy и Oz.
Уравнением плоскости в отрезках удобно пользоваться для построения плоскостей.
Примеры.
- Построить плоскость 2x+3y+6z-6=0. Приведём это уравнение к уравнению плоскости в отрезках:
 . 
 2x-y-4z-4=0.
Рассмотрим еще один способ построения плоскостей. Для построения
плоскости достаточно найти три какие-либо её точки, не лежащие на одной
прямой. Удобнее всего определять точки пересечения плоскости с осями
координат.
- 2x+5z-10=0. Плоскость параллельна оси Oy. Найдём точки пересечения с осями Ox и Oz.
- Плоскость 3x+2y=0 проходит через ось Oz.
- 2z+5=0, z=-5/2.
|
|
