Базис

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x, y, z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство.

1. Докажем сначала существование такого представления.
   1. Предположим, что коллинеарен какому-либо из векторов базиса, например, . Тогда по доказанному выше . Следовательно, , где x = l, y = z = 0.
   2. Пусть компланарен с какой-либо парой базисных векторов, например, с и . Отложим три вектора от одной точки O. Через точку A проведём прямые, параллельные векторам и . Тогда , причём векторы и коллинеарны соответственно векторам и . Поэтому найдутся числа x и y такие, что , а значит .
   3. Пусть некомпланарен ни с одной парой базисных векторов. Отложим от одной точки и проведём через конец вектора прямую, параллельную вектору . Она пересечёт плоскость в точке A₁. Очевидно, что . Но вектор компланарен векторам и , следовательно, по доказанному выше, , а вектор коллинеарен , поэтому . Таким образом, .
2. Докажем теперь единственность такого представления.

   Допустим, что возможны два представления вектора и . Причём, например, . Тогда должны иметь , т.к. иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку A₁ параллельно . Из последнего равенства вытекает, что . Получили противоречие с нашим предположением, что и доказывает теорему.

   В качестве частного случая из этой же теоремы можно сформировать следующее утверждение:

   Если задан базис на плоскости, то любой вектор, компланарный с векторами можно представить в виде , причём такое разложение единственно.

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .