Декартова система координат

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M. Введём понятие координаты точки M. Вектор , соединяющий начало координат с точкой M. называется радиус-вектором точки M.

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M. называются координатами точки M. в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z). Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной системой координат. В этом случае основные векторы принято обозначать буквами , а оси координат Ox, Oy и Oz.

Таким образом, любой вектор в декартовой прямоугольной системе координат можно записать в виде: .

Примеры.

1. Построить на плоскости в декартовой системе координат вектор . Вектор примем в качестве радиус-вектора точки

   М(-1;3).

2. Построить вектор . Вектор примем в качестве радиус-вектора точки N(2; -1; 3).

    

   В дальнейшем мы в основном будем использовать только декартову прямоугольную систему координат.