Кривые второго порядка

Кривые второго порядка: окружность, эллипс

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.         


Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 12.1   Окружность радиуса R  с центром в точке M0(x₀, y₀)  имеет уравнение

(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²,

Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x² + y² = r².

Эллипс*(греч. elleipsis - недостаток) - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса.

Эллипс - множество точек М плоскости (рис.1), сумма расстояний r₁= МF₁ и r₂= МF₂ которых до двух определенных точек F₁(-c,0) и F₂(c,0) этой плоскости (фокусов эллипса) постоянна

r₁+r₂=2а.

Середина 0 отрезка F₁F₂ (фокусного расстояния)называется центром эллипса.

В прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре эллипса, на оси 0х которой лежат фокусы эллипса уравнение эллипса имеет следующий вид

х²/а²+у²/в²=1, в²=а²-с²,

где а и в - длинны большой и малой полуосей эллипса. При а=в фокусы F₁ и F₂ совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.

Эллипс - центральная линия второго порядка.

Эллипс - замкнутая линия, симметричная относительно осей 0x и 0y главных (большой и малой) осей и центра.

Форма эллипса (его "вытянутость") определяется значением эксцентриситета e=c/a<1 (для окружности е=0)

Прямые D₁D₁' и D₂D₂' (рис.1), параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстоянии d=±a/e, называются директрисами эллипса, соответствующими фокусами F₁ и F₂. Отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса к расстоянию её до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету r₁/d₁=r₂/d₂=e. Площадь эллипса S=pi*a*в, pi=3,14159.
Отметим, что по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца.

Название "Эллипс" ввёл Аполлоний Пергский, рассматривая эллипс как одно из конических сечений.

Гипербола* (греч. hyperbole) - плоская кривая линия;

- множество точек М плоскости  разность (по абсолютной величине) расстояний F₁M и F2M которых до двух определенных точек F₁ и F₂ этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна: F₁M - F₂M=2а<2с

Середина 0 отрезка F1F2 (фокусного расстояния) называется центром гиперболы *, **;

- линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости *, **;

- в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре гиперболы, на оси 0х которой лежат фокусы гиперболы уравнение гиперболы имеет так называемый канонический

х²/а² - у²/в²=1, в²=с² - а²,

где а и в длины полуосей гиперболы *, **.
Отметим, что по гиперболе движутся тела, навсегда покидающие Землю, скорость которых больше, чем 2-я космическая (11,2 км/c). Также по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома.