Линейные операции над векторами в координатной форме

Действительно, используя свойства операций умножения вектора на число и сложении векторов будем иметь

.

При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если .

Доказательство очевидно.

Условие коллинеарности двух векторов в коорднинатной форме.

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если , то.

Доказательство:

1. Пусть вектор коллинеарен , тогда найдется λ такое, что . Значит, и . Поскольку разложение вектора по элементам базиса единственно, то .
2. Пусть выполняется равенство . Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда и, следовательно, , т.е. . Теорема доказана.

   Пример.

   1. Даны векторы . Найти вектор .

      .

   2. Найти координаты вектора в базисе, образованном векторами , , .

      Обозначим координаты вектора в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:

      

      Итак, .

   Рассмотрим две произвольные точки и . Найдем координаты вектора .

   Очевидно, что . Но по определению координат вектора и . Следовательно,

   

   Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

   Примеры.

   1. Заданы точкиA(1; -2; 3), B(2; 0; -1). Найти вектор .

      

   2. Даны A(-2; 3; 1), В(-1; 2; 0), С(0; 1; 1). Найти .

      

      

   3. Известно, что. Найти координаты точки D, если

      А(3; -4; -1), В(-4; 4; 1), С(-3; -5; 4).

      Пусть тогда

      . С другой стороны . Следовательно, должно выполняться равенство (x+3; y+5; z-4)=(5;10;-8). Отсюда

      x=2, y=5, z=-4, т.е. точка D имеет координаты D(2; 5; -4).