Матрицы (операции, определитель, свойства)

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрицы допускают следующие алгебраические операции:

1. сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
2. умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n строк, можно умножить справа на матрицу, имеющую n столбцов);
3. умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. н. скаляр).

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Матрицей размера mХn называют прямоугольную таблицу, содержащую m строк и n столбцов. Элементы таких таблиц могут иметь произвольную природу, но в этой главе мы будем считать, что элементами матриц являются действительные числа. Строки и столбцы матрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, обозначается символом а. Сами матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов (m = n), то матрицу называют квадратной и говорят, что квадратная матрица имеет порядок n Элементы а₁₁, а₂₂, ..., а_mm называются диагональными и образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е.

Определитель - число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а₁₁)  является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса:  определитель 3-го порядка  равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-». . Свойства определителей. Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то det этой матрицы равен 0. 2) При транспонировании матрицы её определитель не изменяется. 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и det этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её det равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то det этой матрицы может быть представлен в виде суммы   2-х определителей.

Разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение (взятое с соответствующим знаком).

= a₁₁a₂₂a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁

Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называется число

Aij = ( − 1)^{i + j}M_ij, где M_ij — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы A путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Умножение матрицы на число
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен:
b_ij = λa_ij

Сложение матриц
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
c_ij = a_ij + b_ij

Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения AxB) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность mxn , B — nxk , то размерность их произведения AB = C есть mxk.

Транспонирование
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами.   A = (a_ij), то A^T = (a_ji).

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Это означает, что она равна её транспонированной матрице.

Ранг матрицы
Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

Обратная матрица
Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
AA^-1 = A^-1A = E
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

C * (союзная, взаимная, присоединённая) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Матричные операции

• Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.
• Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть: A + Θ = A
• Все элементы нулевой матрицы равны нулю.
• Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
• Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
• Коммутативность сложения: A + B = B + A.
• Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.
• Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.

• С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.
• Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A
(AB)^T = B^TA^T
(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A - 1 существует.
(A + B)^T = A^T + B^T
detA = detA^T

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:

1. Перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2. Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;
3. Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой её строки (столбца), умноженной на любое число.