Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.
2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.
3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры.

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5].

   Найдем критические точки функции.

   Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.

   

   Итак,

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функцииy=x-2·ln x на [1; e].

   

3. Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кругового конуса объема 3π?

    

   

   По теореме Пифагора

   .

   Следовательно, .

   .

   Найдем критические точки функции S: S' = 0, т.е.

   Покажем, что при найденном значении h функция S_бок достигает минимума.

   

   .

4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

   Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.

   Нам нужно максимизировать объем цилиндра .

   Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что . Отсюда .

   , по смыслу задачи 0≤h≤2R.

   .

   Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.