Непрерывные функции. Непрерывность функции в точке

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции: если независимая переменная приближается к точке x₀, то значение функции y = f(x) неограниченно приближается к значению функции в точкеx₀, т.е. к f(x₀).

Дадим строгое определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y = f(x).

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей x₀ и

.

(1)

 

Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx₀, если выполнены 3 условия:

1. она определена в точке x₀ и в некоторой её окрестности;
2. имеет предел при x → x₀;
3. этот предел равен значению функции в точке x₀.

Формулу (1) можно записать в виде , т.к. . Это означает, что для того, чтобы найти предел непрерывной функции при x → x₀, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента xего значение x₀.

Пример: Докажем, что функция y = 3x² непрерывна в произвольной точке x₀. Для этого найдем .

Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Непрерывные функции обладают следующими свойствами.

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма φ(x) = f(x) + g(x) также есть непрерывная функция в точке x₀.

Доказательство. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то исходя из определения можно написать . Тогда на основании свойств пределов будем иметь

.

Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Следующие две теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1.

Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

Если функцию можно представить в виде y = f(u), где u = φ(x), т.е. если функция зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной функцией переменной x.

Примеры:

1. y = sinx³. Здесь u = x³, y = sin u.
2. y = e^{tg x}, u = tg x, y = e^u.

    

Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое – либо очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функция u = φ(x) непрерывна в точкеx₀ и принимает в этой точке значение u₀ = φ(x₀), а функция f(u) непрерывна в точке u₀, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x₀.

Используя эти теоремы можно доказать следующий результат.

Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x₀ и её значение в этой точке отлично от 0, f(x₀) ≠ 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x₀ имеют тот же знак, что и f(x₀), т.е. если f(x₀) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x₀– δ;x₀+ δ) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от своего предела).