Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математический анализ (МатАн)

Основные правила дифференцирования

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К Содержанию

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

  1. (справедлива для любого конечного числа слагаемых).
  2. .
  3. .

    а) .

    б) .

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента xx имеем y(xx)=u(xx) + v(xx).

Тогда

Δy=y(xx) – y(x) = u(xx) + v(xx)u(x)v(x) = Δuv.

Следовательно,

.

Доказательство формулы 4.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(xx)=u(xxv(xx), поэтому

Δy=u(xxv(xx) – u(xv(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(xx)→u(x), v(xx)→v(x), при Δx→0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ' = u '·(w) + u·(v ·w) ' = uv·w + u·(v '·w +v·w ') = uv·w + u·v '·w + u·v·w '.

Доказательство формулы 5.

Пусть . Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)v(x) при Δx→0.

Примеры.

  1. Если , то
  2. y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y '(–1).

    y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.

  3. y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.
  4. Таким образом,

  5. Аналогично для y= ctgx,

Категория: Математический анализ (МатАн) | Добавил: Ni-Cd (04 Декабря 2011)
Просмотров: 1988 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2022 © Ni-Cd. All Rights Reserved