ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Функция 
не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.
Однако, можно найти предел этой функции при х→0.
Приведем
доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и
предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0
< α < π/2. (Так как 
четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то
достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что
SΔOAC <Sсект.OAC <SΔOBC.
Так как указанные площади соответственно равны
SΔOAC=0,5∙OC∙OA∙sinα=0,5sinα,Sсект.OAC=0,5∙OC2∙α=0,5α,SΔOBC=0,5∙OC∙BC=0,5tgα.
Следовательно,
sin α < α < tg α.
Разделим все члены неравенства на sin α > 0:
.
Но 
. Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что 
.
Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.
Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 
. Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами 
.
Примеры.
.
.
.
.
