Понятие вектора. Свойства

Алгебраический подход
В линейной алгебре вектор — это элемент векторного пространства (или иначе: линейного пространства). Векторы можно складывать и умножать на число. Вектор также можно представить в виде линейной комбинации других векторов. Базис — это линейно независимая совокупность векторов, которая порождает всё пространство. В конечномерном пространстве существует конечный базис, и тогда любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде разложения вида

где e₁,....e_n — это базис, а x₁,...x_n — координаты вектора  в заданном базисе.

Геометрический подход
Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (приложенного, закреплённого) вектора.

• Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек евклидова пространства.
• Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:

1. коллинеарны
2. равны по длине
3. одинаково направлены (сонаправлены)

Существует естественный изоморфизм свободных векторов и параллельных переносов пространства (каждый перенос взаимно однозначно соответствует какому-то свободному вектору). На этом также строят геометрическое определение свободного вектора, просто отождествляя его с соответственным переносом.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

Вектор как последовательность
Вектор — упорядоченная пара чисел (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

Многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем счётный или конечный упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым
Вектор  BA называют противоположным вектору AB.
Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка.

Ортогональность
Векторы являются ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Часто вместо этого термина употребляют термин "перпендикулярность", однако следует учитывать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору, но понятие перпендекулярности для него не определено, поскольку не определён угол между нулевым и другим вектором.

Коллинеарность
Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.
Часто вместо этого термина употребляют термин "параллельность", однако следует учитывать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору, но понятие параллельности для него не определено, поскольку не определён угол между нулевым и другим вектором.