Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A₁ и B₁ проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A₁ имеет координату x₁, а B₁ – координату x₂ на оси l.

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x₁ – x₂ между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x₂> x₁, и проекция x₂ – x₁> 0; если этот угол тупой, то x₂< x₁ и проекция x₂ – x₁< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x₂= x₁ и x₂– x₁= 0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A₁B₁, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

1. Проеция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

   

   Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим .

   1. Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или
   2. Если угол φ тупой, то x< 0, . Тогда из или . Т.е. .
2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .

   Доказательство. Пусть . Обозначим через x₁, x₂ и x₃ координаты проекций A₁, B₁, C₁ на ось l точек A, B и C. Тогда . Но .

   Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

3. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

   .

   Доказательство. Пусть угол между вектором и осью .

   Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол .

   При λ > 0 .

   Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и .

   Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.