Производная и ее приложения определение производной

Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x₀ и новое x. Разность x– x₀ называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x₀ (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x₀+Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x₀ значение функции было f(x₀), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x₀ +Δx).

Разность y – y₀ = f(x) – f(x₀) называется приращением функции y = f(x) в точке x₀ и обозначается символом Δy. Таким образом,

Обычно исходное значение аргумента x₀ считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y₀ = f(x₀) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δxтакже будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx→0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x₀ и обозначают f '(x₀). Итак,

.

Производной данной функции y = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках xможет принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f '(x),y ', . Конкретное значение производной при x = aобозначается f '(a) или y '|_x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

1. Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
2. Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).
3. Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx∞0.

Примеры.

1. Найти производную функции y = x²

   а) в произвольной точке;

   б) в точке x= 2.

   а)

   1. f(x + Δx) = (x + Δx)²;
   2. Δy = (x + Δx)² – x²=2xΔx– x²;
   3. .

      б) f '(2) = 4

2. Используя определение найти производную функции в произвольной точке.
   1. .
   2.