Производные некоторых основных элементарных функций.

(a + b)ⁿ = aⁿ+n·a^n-1·b + 1/2∙n(n – 1)a^n-2∙b²+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)ⁿ, и, следовательно,

Δy=(x+Δx)ⁿ – xⁿ =n·x^n-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·x^n-2·Δx² +…+Δxⁿ.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

Найдем предел

Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.

Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

Таким образом,

Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому

Итак,