Производные высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'.

Например, если у = х⁵, то y'= 5x⁴, а y''= 20x⁴.

Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x).

Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y⁽ⁿ⁾ или f⁽ⁿ⁾(x): y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))'.

Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.

Примеры.

1. Найти производную четвертого порядка функции y= ln x.

   .

2. .
3. Найти производную n-го порядка функции y = e^kx.

   y'= k·e^kx, y''= k²·e^kx, y''' = k³·e^kx, …,y⁽ⁿ⁾ =kⁿ·e^kx.

4. Найти производную n-го порядка функции y = sin x.

   Имеем

   

   Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл первой производной – скорость).

   Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s=s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость vэтого движения есть v= s'(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.

   В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени t+Δt. Ему соответствует значение скорости v₁ = v(t+Δt). Следовательно, приращению времени Δt соответствует приращение скорости Δv= v₁ – v = v(t + Δt) – v(t). Отношение называется средним ускорением за промежуток времени Δt.

   Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δt→0:

   .

   Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s'. Учитывая это, имеем:

   a = v'(t) = (s')' = s''(t),

   т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени

   a = S''(t).