Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математический анализ (МатАн)

Разложение по формуле маклорена некоторых элементарных функций

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К Содержанию
  1. Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

    Таким образом, получаем

    Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex.

    Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

    причем остаток

    Отметим, что для любого x Î R остаточный член

    Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина eξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 eξ < ex. Докажем, что при фиксированном x

    Имеем

    Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.

    Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать

    Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,

    Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности.

  2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

    Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

    Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

    Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

    .

    Так как , то аналогично разложению ex можно показать, что для всех x.

    Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

    Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

    Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

  3. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

    Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

  4. f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

    Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

    Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

    Можно доказать, что если x Î (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].

  5. f(x) = (1+x)m, где m Î R, m≠0.

     

    При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

    И следовательно,

    Можно показать, что при |x|<1

Категория: Математический анализ (МатАн) | Добавил: Ni-Cd (04 Декабря 2011)
Просмотров: 4709 | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2022 © Ni-Cd. All Rights Reserved