Скалярное произведение векторов и его свойства

Мы рассмотрели умножение вектора на число. Однако во многих задачах механики и физики встречается операция умножения вектора на вектор. Но при этом результат может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.

Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается . Итак, .

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .

   Очевидно, из определения скалярного произведения:

   .

2. Для любого числа λ и любых векторов имеем:

   .

   Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами и совпадает с углом между векторами и , .

   Поэтому . Откуда

   Аналогично доказывается и равенство .

   Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.

3. Для любых векторов выполняется равенство .

   Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

   

4. Для любого вектора выполняется соотношение.

   Действительно, так как , то .

   Из этого свойства в частности следует .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

   Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

   Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

   Пример. Дан вектор . Известно, что

   Найти .

   Имеем, т.е. .

   Найдем:

   Следовательно, .

Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в координатной форме. Пусть даны два вектора и .

Рассмотрим сначала все возможные скалярные произведения векторов друг на друга.

Поэтому

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: .

Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты:

.

Далее из определения скалярного произведения находим

.

Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами

.

Условие ортогональности двух векторов:

или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Примеры.

1. Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2), . Найти:
   1. ;
   2. и ;
   3. .
      1. .
      2. .
      3. .
2. Найти в , если известны координаты его вершин A(1; 5; 6),

   B(5; 3; 10), C(2; 1; 14).

   

   

3. При каком значении m векторы и перпендикулярны?

   Условие ортогональности двух векторов .

   . Следовательно, m = 15.