Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математический анализ (МатАн)

Смешанное произведение трех векторов и его свойства

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К Содержанию

Смешанным произведением трёх векторов называют число, равное . Обозначается . Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный вектор умножается скалярно на третий вектор . Очевидно, такое произведение есть некоторое число.

Рассмотрим свойства смешанного произведения.

  1. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. .

    Таким образом, и .

    Доказательство. Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим и заметим, что . По определению скалярного произведения

    . Предполагая, что и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим .

    Таким образом, при

    Если же , то и . Следовательно, .

    Объединяя оба эти случая, получаем или .

    Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение , а если – левая, то .

  2. Для любых векторов , , справедливо равенство

    .

    Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что и . Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы между векторами и и и одновременно острые или тупые.

  3. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.

    Действительно, если рассмотрим смешанное произведение , то, например, или

    .

  4. Смешанное произведение тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны.

     

    Доказательство.

    1. Предположим, что , т.е. , тогда или или .

      Если , то или или . Поэтому – компланарны.

      Если , то , , - компланарны.

    2. Пусть векторы – компланарны и α – плоскость, которой они параллельны , т. е. и . Тогда , а значит , поэтому или .

    Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если .

    Если векторы заданы в координатной форме , то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:

    .

    Т. о., смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.

    Примеры.

    1. Показать, что векторы образуют базис в пространстве.

      , т.е. векторы – базис.

    2. Найти объём пирамиды с вершинами в точках A(2; -2; 0), B(-1; 4; -4), C(4; -8; 5), D(1; -7; 0). Правую или левую тройку образуют векторы и ?

      Т. к. , то тройка векторов левая.

Категория: Математический анализ (МатАн) | Добавил: Ni-Cd (04 Декабря 2011)
Просмотров: 3192 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2018 © Ni-Cd. All Rights Reserved