Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математический анализ (МатАн)

Сравнение бесконечно малых функций

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К Содержанию

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть при xa функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

  1. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
  2. Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.
  3. Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.

Примеры.

  1. Пусть f(x)=x2,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x→0. Найдем . Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).
  2. Пусть f(x)=x2–4,g(x)=x2–5x+6 – бесконечно малые при x→2.

    .

    Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.

  3. f(x)=tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.

    .

    Следовательно, f ≈ g.

  4. – бесконечно малые при n→∞.

    – этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.

При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при ха. Если и f ≈ f1, gg1, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.

Доказательство. Имеем . Тогда

,

что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при

x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x2∕2,loga(1+x) ≈ x/lna,ln (1+x) ≈ x,(1+x)m–1 ≈ mx,ax–1 ≈ xlna,ex–1 ≈ x.

Примеры.

  1. .
  2. .
Категория: Математический анализ (МатАн) | Добавил: Ni-Cd (04 Декабря 2011)
Просмотров: 3076 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2022 © Ni-Cd. All Rights Reserved