Сравнение бесконечно малых функций

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

1. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
2. Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.
3. Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.

Примеры.

1. Пусть f(x)=x²,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x→0. Найдем . Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).
2. Пусть f(x)=x²–4,g(x)=x²–5x+6 – бесконечно малые при x→2.

   .

   Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.

3. f(x)=tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.

   .

   Следовательно, f ≈ g.

4. – бесконечно малые при n→∞.

   – этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.

При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х→а. Если и f ≈ f₁, g ≈ g₁, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.

Доказательство. Имеем . Тогда

,

что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при

x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x²∕2,log_a(1+x) ≈ x/lna,ln (1+x) ≈ x,(1+x)^m–1 ≈ mx,a^x–1 ≈ xlna,e^x–1 ≈ x.

Примеры.

1. .
2. 
3. .