Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математический анализ (МатАн)

Теорема о производной обратной функции

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К Содержанию

Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.

Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную , т.е. справедлива формула.

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Примеры.

  1. y = ex. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

    Итак,

    (ex) ' = ex
  2. Аналогично можно показать, что (ax) ' = ax·lna. Докажите самостоятельно.
  3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная x ' = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

    .

    Но на (–π/2; π/2) .

    Поэтому

  4. Аналогично

    Докажите самостоятельно.

  5. y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна. По ранее доказанному .

    Следовательно, y ' = cos2 y . Но .

    Поэтому

  6.  

  7. Используя эти формулы, найти производные следующих функций:

Категория: Математический анализ (МатАн) | Добавил: Ni-Cd (04 Декабря 2011)
Просмотров: 3850 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2022 © Ni-Cd. All Rights Reserved