Угол между плоскостями

Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

   M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.

   Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что: . Поэтому можно положить A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.

   Кроме того, так какMÎ α, то-6+2-28+D=0, D=32.

   Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1; 1; 1), M₂(0; 1; –1) перпендикулярно плоскости x+y+z=0.

   Так как M₁Î α, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.

   Далее, так как M₂Î α, то подставив координары точки в выписанное уравнение, получим равенство -A-2C=0 или A+2C=0.

   Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.

   Выразим коэффициенты Aи Bчерез C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное уравнение: -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

   Окончательно получаем -2x+y+z=0.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2x+3y-2z-4=0 и 3x+5y+z=0.

   Так как MÎ α, то A(x+2)+B(x-3)+C(z-6)=0.

   По условию задачи , поэтому

   

   Итак уравнение плоскости принимает вид 13(x+2)-8(y-3)+z-6=0 или 13x-8y+z+44=0.