Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математический анализ (МатАн)

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К Содержанию

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов S1 и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда s1 параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Примеры.

  1. Найти угол между прямыми и .

  2. Найти уравнения прямой проходящей через точку М1(1;2;3) параллельно прямой l1:

    Поскольку искомая прямая l параллельна l1, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l1.

  3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М1(-4;0;2) и перпендикулярной прямым: и .

    Направляющий вектор прямой l можно найти как векторное произведение :

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

Примеры.

  1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2;-3;4) параллельно прямым и .

    Так как M1Î α, то уравнение плоскости будем искать в виде

    .

    Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений

    Отсюда

    Итак, или .

  2. Найти угол между прямой и плоскостью .

    Направляющий вектор прямой . Нормальный вектор плоскости . Следовательно,

  3. Найдите точку, симметричную данной М(0;-3;-2) относительно прямой .

    Составим уравнение плоскости α перпендикулярной l. MÎ α, . Следовательно, или .

    Найдём точку пересечения прямой l и α:

    Итак, N(0.5;-0.5;0.5). Пусть искомая точка М1 имеет координаты М1(x,y,z). Тогда очевидно равенство векторов , т.е. (0,5;2,5;2,5)=(х-0.5;у+0.5;z-0.5). Откуда x=1, y=2, z=3 или М1(1;2;3).



Категория: Математический анализ (МатАн) | Добавил: Ni-Cd (04 Декабря 2011)
Просмотров: 2317 | Рейтинг: 3.0/2
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2018 © Ni-Cd. All Rights Reserved