Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов S1 и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда s1 параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Примеры.

1. Найти угол между прямыми и .

   

2. Найти уравнения прямой проходящей через точку М₁(1;2;3) параллельно прямой l₁:

   

   Поскольку искомая прямая l параллельна l₁, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l₁.

   

3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М₁(-4;0;2) и перпендикулярной прямым: и .

   Направляющий вектор прямой l можно найти как векторное произведение :

   

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

Примеры.

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(2;-3;4) параллельно прямым и .

   Так как M₁Î α, то уравнение плоскости будем искать в виде

   .

   Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений

   Отсюда

   

   Итак, или .

2. Найти угол между прямой и плоскостью .

   Направляющий вектор прямой . Нормальный вектор плоскости . Следовательно,

3. Найдите точку, симметричную данной М(0;-3;-2) относительно прямой .

   Составим уравнение плоскости α перпендикулярной l. MÎ α, . Следовательно, или .

   Найдём точку пересечения прямой l и α:

   

   Итак, N(0.5;-0.5;0.5). Пусть искомая точка М₁ имеет координаты М₁(x,y,z). Тогда очевидно равенство векторов , т.е. (0,5;2,5;2,5)=(х-0.5;у+0.5;z-0.5). Откуда x=1, y=2, z=3 или М₁(1;2;3).