Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математический анализ (МатАн)

Уравнения касательной и нормали к кривой

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К Содержанию

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x0, y0), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x0), то получаем уравнение y= f'(x0x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0= f'(x0)·x0 + b. Отсюда b=y0f'(x0x0.

Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x0x +y0f'(x0x0 или

y = f '(x0)·(xx0) + f(x0)

Если касательная, проходящая через точку М(x0,y0) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0.

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:

.

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x0, y0), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x0) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y0, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x0.

Примеры.

  1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg2x в точке с абсциссой x0=π/4.

    Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – π/4) + 1 или y = 4x – π + 1.

    Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – π/4) + 1 или у = –1/4·x + π/16 + 1.

  2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2)2 + 5 в точке M(2; 5).

    y'= x – 2, y'(2) = 0 . Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y= 5 . Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x= 2 .

  3. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке M(2; 3).

    Найдем y' по правилу дифференцирования неявной функции .

    Уравнение касательной: ,т.е. .

    Уравнение нормали: , т.е. .

  4. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x= t – sin t, y= 1 – cos tв точке М(x0; y0), которая соответствует значению параметра t = π/2.

     

    При t=π/2x0= π/2 – 1, y0=1.

    .

    Уравнение касательной: y = x – π/2 + 1 + 1, т.е. у = x – π/2 + 2.

    Уравнение нормали: y = – x – π/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – π/2.

Категория: Математический анализ (МатАн) | Добавил: Ni-Cd (04 Декабря 2011)
Просмотров: 23833 | Рейтинг: 4.2/10
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 2
Гостей: 1
Пользователей: 1
sandrann11
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2022 © Ni-Cd. All Rights Reserved