Киберфак – бесплатно скачать презентации PowerPoint, лекции, рефераты, шпоры, курсовые cyberfac logo
cyberfac.ru
На главную | Регистрация | Вход
  Статьи  
Главная » Статьи » Математика » Математический анализ (МатАн)

Векторное произведение векторов и его свойства

Полезная статья? Пожалуйста, поставьте "+"
К Содержанию

Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .

Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.

Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

  1. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
  2. Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
  3. Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

  1. Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:

    .

    Таким образом, и .

  2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак .

    Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .

  3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов

    .

    Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения

    Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .

    Поэтому .

    Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.

  4. Для любых векторов имеет место равенство

    .

    Примем без доказательства.

  5. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

    Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

    Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

    В частности .

Примеры.

  1. Раскрыть скобки

    .

  2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если известно, что и .

    .

    Найдем .

    .

Можно показать, что если и , то координаты векторного произведения векторов и находятся по формуле:

.

Примеры.

  1. Найти векторное произведение векторов и .

    .

  2. Найти площадь , если A(2; 3; 1), B(-1; -2; 0), C(-3; 0; 1).

     

  3. Даны векторы . Найти параметры n, p, q если известно, что векторы и коллинеарны, а векторы и ортогональны.

    Так как векторы и коллинеарны, то . Векторы и ортогональны, поэтому . Итак, получили систему уравнений

Категория: Математический анализ (МатАн) | Добавил: Ni-Cd (04 Декабря 2011)
Просмотров: 1845 | Рейтинг: 4.0/1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
  Полезные материалы  

В нашем каталоге файлов можно найти много полезной информации. Также советуем заглянуть в каталог статей: в нем есть полезные статьи по темам: Экономика предприятия, Общая экономика, Финансы и Кредит, также Словарь терминов по экономике, Маркетинг, Бухучет и Мировая экономика
Также есть полезная страница Факультеты МИФИ, которая расскажет о том, какие есть в МИФИ факультеты.
Меню
 

Навигация
Теория вероятностей и математическая статистика (ТерВер и МатСтат) [17]
Математический анализ (МатАн) [67]
Математические методы в экономике [24]
 

Поиск
 

Онлайн
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 

Статистика


Рейтинг@Mail.ru

 


2007 - 2018 © Ni-Cd. All Rights Reserved