Векторное произведение векторов и его свойства

Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .

Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.

Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
2. Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
3. Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:

   .

   Таким образом, и .

2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак .

   Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов

   .

   Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения

   

   Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .

   Поэтому .

   Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.

4. Для любых векторов имеет место равенство

   .

   Примем без доказательства.

5. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

   Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

   Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

   В частности .

Примеры.

1. Раскрыть скобки

   .

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если известно, что и .

   .

   Найдем .

   .

Можно показать, что если и , то координаты векторного произведения векторов и находятся по формуле:

.

Примеры.

1. Найти векторное произведение векторов и .

   .

2. Найти площадь , если A(2; 3; 1), B(-1; -2; 0), C(-3; 0; 1).

    

   

3. Даны векторы . Найти параметры n, p, q если известно, что векторы и коллинеарны, а векторы и ортогональны.

   Так как векторы и коллинеарны, то . Векторы и ортогональны, поэтому . Итак, получили систему уравнений