Непрерывная случайная величина. Дифференциальные и интегральные функции. Численные характеристики непрерывных случайных величин

Интегральная функция F(x)=P(X

Свойства интегральной функции распределения: Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: .Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a,b), равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале P(a=

Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения. Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции. f(x)=F’(x). Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:

Геометрический смысл ДФР состоит в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b

Свойства дифференциальной функции распределения: Дифференциальная функция распределения неотрицательна. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

Так как дифференциальная функция распределения равна

f(x)=F’(x), то можно записать

т. е. предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу  к длине этого интервала  (при ), равен значению дифференциальной функции распределения в точке x. Аналогичное (6.1) определение дается в механике для определения плотности массы в точке (если масса распределена вдоль оси X по закону F(x)), поэтому в теории вероятности для дифференциальной функции распределения f(x) часто используется термин "плотность вероятности в точке". На основании (6.1) запишем

Вероятностный смысл дифференциальной функции распределения на основании (6.2) таков: вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу  приближенно равна произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала  или (на графике) площади прямоугольника с основанием  и высотой f(x). Дифференциальную функцию распределения часто называют законом распределения вероятностей непрерывных случайных величин.